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Aug 14

Gewinnwahrscheinlichkeiten berechnen Teil 2

money b 300x225 Gewinnwahrscheinlichkeiten berechnen Teil 2Im ersten Teil haben wir uns mit der Gewinnwahrscheinlichkeit von 6 “Richtigen” beim Lotto 6aus49 befasst. In diesem Artikel wollen wir die weiteren Wahrscheinlichkeiten berechnen.

Ist dafür eine eigene Erläuterung notwendig? – Ja, und ich zeige ihnen warum.

Lassen Sie uns die Chancen für 1 richtige Zahl berechnen. Bei der Ziehung der ersten Kugel haben wir 6 getippte Zahlen bei 49 Kugeln. Bei der zweiten Ziehung haben wir wiederum 6 Zahlen bei jetzt 48 Kugeln usw.

Rechnen wir die Wahrscheinlichkeiten zusammen 6/49 + 6/48 + 6/47 + 6/46 + 6/45 + 6/44, kommen wir auf einen Wert von 0,734 oder 73,4%. Tatsächlich beträgt die Wahrscheinlichkeit aber nur 41,3%.

Was wir ermittelt haben, war nicht eine richtige Zahl, sondern mindestens eine richtige Zahl zu tippen. In unserem Ergebnis sind auch 2 “Richtige”, 3 “Richtige”, 4 “Richtige”, 5 “Richtige” und 6 “Richtige” enthalten.

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Doch dies war nicht unsere Aufgabenstellung. Gott sei Dank stellt die Mathematik dem Interessierten Wege bereit, um zu korrekten Ergebnis zu kommen. Dabei setzt sich die Berechnung aus 3 Schritten zusammen:

  1. Zuerst wird berechnet wieviele Möglichkeiten es gibt von den 6 gezogenen Zahlen die gewünschte Anzahl “Richtige” zu haben.
    Bei einer “Richtigen” sieht das wie folgt aus:
    R    F    F    F    F    F
    F    R    F    F    F    F
    F    F    R    F    F    F
    F    F    F    R    F    F
    F    F    F    F    R    F
    F    F    F    F    F    R


    Wir sehen, dass es bei einer  “Richtigen” 6 Möglichkeiten gibt, nämlich dass die erste Zahl übereinstimmt oder die zweite usw. Berechnet wird dies mit  Gewinnwahrscheinlichkeiten berechnen Teil 2  – gesprochen “n über k”, wobei n die Anzahl der insgesamt gezogenen Zahlen und k die Anzahl der “Richtigen” ist.
     Gewinnwahrscheinlichkeiten berechnen Teil 2
    Dabei steht “!” für Fakultät. Die Fakultät ist eine Funktion in der die (Ganz-) Zahl mit jeder weiteren, kleineren Zahl multipliziert wird.
    Ein paar Beispiel zeigen, dass die Funktion nicht kompliziert ist. So ist 4! = 4*3*2*1 (also 24), 3! = 3*2*1 = 6, 1! = 1. Zu beachten ist, dass 0! als 1 definiert ist.
    Für eine richtige Zahl gilt:
     Gewinnwahrscheinlichkeiten berechnen Teil 2
    Bzw. für zwei Richtige:
     Gewinnwahrscheinlichkeiten berechnen Teil 2

  2. Die Gleichung hierfür lautet: Gewinnwahrscheinlichkeiten berechnen Teil 2 oder  Gewinnwahrscheinlichkeiten berechnen Teil 2
    Anschaulicher wird die Gleichung mit Zahlenwerten. Wir suchen die Anzahl der Möglichkeiten für 1 Richtige (=k, n=6 = Anzahl der zu ziehenden Zahlen):
     Gewinnwahrscheinlichkeiten berechnen Teil 2Dadurch heben sich die 38! auf und es verbleiben:
     Gewinnwahrscheinlichkeiten berechnen Teil 2Nun suchen wir die Anzahl der Möglichkeiten für 3 Richtige:
     Gewinnwahrscheinlichkeiten berechnen Teil 2
     Gewinnwahrscheinlichkeiten berechnen Teil 2
  3. Zuletzt multiplizieren wir die Anzahl der Möglichkeiten der Richtigen wie in Schritt 1 beschrieben mit der Anzahl der Möglichkeiten der nicht gezogenen Zahlen (Schritt 2). Anschließend dividieren wir das Ergebnis durch die Gesamtanzahl der Möglichkeiten, die wir im ersten Artikel für 6 Richtige mit 13.983.816 errechnet hatten.
    Für eine Richtige kommen wir damit auf
     Gewinnwahrscheinlichkeiten berechnen Teil 2

In der folgenden Tabelle werden die Wahrscheinlichkeiten für alle Ergebnisse aufgeführt:

Wahrscheinlichkeiten Gewinnwahrscheinlichkeiten berechnen Teil 2




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